fungsi

FUNGSI

Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur pembentuk tersebut bernama variable, koefesien dan konstanta.

Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili factor tertentu. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam sebuah fungsi terdapat dua macam variable yaitu variable bebas. Variable bebas variable yang nilainya tidak tergantung pada variable lain. Sedangkan variable terikat adalah variable yang milainya tergantung pada variable lain.

Contoh persamaam fungsi:  Y = 0,8X + 5

Keterangan:

X    =   Variabel bebas (Independent variabel) adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain.

Y    =   Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

0,8  =   adalah koefisien variabel X

5     =   adalah konstanta

v  Fungsi Linier

Fungsi linier dikenal juga dengan nama fungsi berderajat satu. Atau dapat dikatakan bahwa fungsi linier adalah fungsi dari variabelnya yakni variabel X dan Y mempunyai pangkat satu. Sesuai dengan namanya setiap persamaam linier apabila digambarkan akan menghasilkan garis lurus. Bentuk umum persamaa linier y = a + bx ; dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertical y, sedangkan b adalah koefesien arah atau lereng garis yang bersangkutan. Penggal a menunjukkan nilai y pada kedudukan x = 0. Adapun lereng b menunjukkan besarnya tambahan nilai y untuk tambahan setiap unit x, juga mencerminkan tangen dari sudut yang dibentuk oleh garis y dan sumbu x.

Penggambbaran fungsi Linier

Contoh:  y = 3 + 2x

x	0	1	2	3	4
y	3	5	7	9	11

Maka dapat digambarkan sebagai berikut:

Pembentukan Persamaan Linier

·         Cara Dwi-Koordinat

Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x₁,y₁) dan (x₂,y₂), maka rumus persamaan liniernya adalah :

 =

Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan liniernya adalah:

 =

·         Cara Koordinat lereng

Dari sebuah titik dan lereng dapat dibentuk sebuah persamaan linier  yang memenuhi titik dan lereng tersebut. Apabila diketahui titik A dengan koordinat (x₁,y₁) dan lereng garisnya dalah b, maka rmus persamaannya adalah:

Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua data ini adalah:

·         Cara Penggal lereng

Sebuah persamaan linier dapat juga dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam hal ini rumus persamaan liniernya adalah:

 

Andaikan penggal dan lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan liniernya adalah:

·         Cara dwi penggal

Terakhir, sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut masing-masing sumbu, yakni penggal pada sumbu vertical (ketika x=0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y=0). Apabila a dan c masing-masing adalah penggal pada sumbu-sumbu vertical dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah:

Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu vertical dan sumbu horizontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan lilier  yang memenuhinya ialah:

Pencarian Akar-Akar Persamaan Linier

Mencari akar-akar persamaan maksudnya ialah menghitung besarnya variable di dalam persamaan yang bersangkutan. Pencarian besarnya harga bilangan-bilangan x dari beberapa persamaan linier, dengan kata lain penyelesaian persamaan linier secara serempak, dapat dilakukan dengan cara:

·         Cara Subtitusi

Dua persamaan dengan dua bilangan x dapat diselesaikan terlebih dahulu, kemudian mensubtitusikannya ke dalam persamaan yang lain.

Contoh: carilah nilai variable x dan y dari persamaan berikut:

2x + 3y = 21  dan x + 4y = 23                       x = 23 - 4y

Penyelesaian :

Selesaikan dahulu salah satu persamaan untuk bilangan tertentu.

Sehingga :      2x + 3y = 21 

                       2(23-4y) + 3y = 21 

                       46 - 8y + 3y = 21

                       46 – 5y = 21

                       46 – 21 = 5y

                       25 = 5y

y = 5

Untuk mendapatkan nilai x, masukkan hasil y = 5 ini ke dalam persamaan semula.

2x + 3y = 21 2x + 3(5) = 21 2x  = 21 – 15 2x = 4 x = 2

Atau x + 4y = 23     x + 4(5) = 23      x = 23 – 20 x = 3

·         Cara Eliminasi

Dua persamaan dengan dua bilangan dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan yang lain.

Contoh : carilah nilai dari variable x dan y dari dua persamaan berikut:

2x + 3y = 21  dan x + 4y = 23    

Misalnya bilangan yang hendak dihilangkan adalah x maka kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 2, sehingga:

2x + 3y = 21  x + 4y = 23

x 1 x 2

2x + 3y = 21   2x + 8y = 46

     Agar x hilang (habis) berarti kedua persamaan baru di atas harus saling dikurangkan.

   

2x + 3y = 21  x + 4y = 23	x 1 x 2	2x + 3y = 21   2x + 8y = 46  (-)
		-5y  = -25          y  = 5

Dengan memasukkan hasil y = 5 ke dalam salah satu persamaan semula, seperti halnya dalam cara subtitusi di atas, diperoleh x = 3 jadi akar-akar persamaannya adalah x = 3 dan y – 5.

PENGGUNAAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI

v  Fungsi Permintaan (Demand Function)

Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula sebaliknya.

1.      Pada saat harga turun P1 ke P2, maka permintaan naik dari Q1 ke Q2

2.      Pada saat harga naik P1 ke P3, maka per mintaan  turun dari Q1 ke Q3

Hal –hal yang perlu diperhatikan

1.      P   = harga per unit

Q  = Quantitas barang

2.      Kurva permintaan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

3.      P dan Q positif

4.      Pada suatu tingkatan harga (P) hanya terkandung nilai kuantitas (Q) dan sebaliknya

5.      Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga tidak sama dengan kuantitas.

v  Fungsi Penawaran (Supply Function)

Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus).

Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian pula sebaliknya.

1.      P1 à P2 : Jumlah barang yang ditawarkan naik  Q1 à Q2

2.      P1 à P3 : Jumlah barang yang ditawarkan turun  Q1 à Q3

v  Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar)

Definisi: Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang  ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan :

( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan)

Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan Jumlah keseimbangan (equilibrium  quantity).

v  Pajak dan Subsidi

Ø  Pajak

Definisi:  Jenis pungutan yang dilakukan pemerintah terhadap produsen/penjual sehingga beban pajak akan menambah besarnya biaya yang harus dipikul oleh produsen/penjual. Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik, kenaikannya sebesar pajak yang dibebankan

Pajak ada 2 macam

§  Pajak Per unit

Definisi: Pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya tetap untuk setiap unit barang

Sebelum pajak :

FS  à

Setelah pajak:

FSt            à

Khusus Pajak Per unit

     Pajak yang ditanggung konsumen:

     Pajak yang ditanggung produsen:

     Pajak yang diterima pemerintah:

§  Pajak Persentase

Definisi:  Pajak yang dipungut pemerintah dengan persentase yang tetap terhadap penjualan. Pajak persentase (r)

Sebelum pajak       : FS      à

Setelah Pajak         : FSr    à

Ø  Subsidi

Definisi: Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, pengaruhnya  terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa  ongkos  produksinya menjadi lebih kecil sehingga bersedia menjual lebih  murah.

Sebelum  subsidi         : FS      à

Setelah Subsidi           : FSs    à

Contoh Soal:

Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang, harga per unit barang      Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang  harga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebut diminta:

a.       Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan?

b.      Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium?

c.       Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dan kuantitas barang yang baru.

d.      Gambar kurvanya.

Jawaban:

a.    

Fungsi Permintaan FD à         

                                                  

Fungsi Penawaran FS à          

                                                

b.     

c.       FDà  

FSà   

E(72,28)

FStà 

           

EàFSt=FD

           

           

           

           

           

           

           

Et(69,31)

FD    à  

                

                

FS     à  

                

                

FSt    à  

                

                

d.      FD à

FS à

ANALISIS BREAK EVEN POINT (BEP)

v  Fungsi Biaya

Fungsi biaya menunjukkan hubungan antara biaya total dengan tingkat outputnya (produksi yang dihasilkan).

Fungsi biaya terdiri dari :

Ø  Total Cost (TC)

adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara keseluruhan dalam memproduksi suatu barang.

Ø  Variabel Cost (VC)

adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara berubah-ubah sesuai dengan besar kecilnya produksi yang dihasilkan.

Ø  Fixed Cost (FC)

adalah biaya yang dikeluarkan perusahaan secara tetap (tanah, gedung, mesin).

Secara Grafis hubungan ketiga fungsi biaya tersebut adalah sebagai berikut:

Keterangan:

Ø  TC,VC,FC adalah pengganti sumbu Y.

Ø  Q adalah pengganti sumbu X.

Ø  FC garis sejajar dengan Q, karena FC tidak dipengaruhi  oleh besar kecilnya produksi.

Ø  VC adalah garis yang berpusat pada titik 0, karena jumlah pengeluarannya tergantung dari kuantitas yang dihasilkan, jadi apabila tidak berproduksi, maka VC = 0

Bentuk umum fungsi biaya linier:

Dimana: TC   =   Total Cost

               Q    =   Kuantitas yang dihasilkan

               a, b =   Konstanta

v  Fungsi Penerimaan (Revenue)

Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara penerimaan total dengan hasil penjualan produksinya. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:

Keterangan:

Grafik TR dimulai dari titik 0, karena pada saat produsen tidak menjual barang hasil produksinya adalah 0, maka TR nya juga 0.

v  Analisis Break Even Point (BEP).

BEP terjadi apabila garis Total Cost (TC) bertemu dengan garis Total Revenue (TR) dalam satu titik, yaitu titik yang menunjukkan keadaan tingkat penerimaan sama dengan biaya yang dikeluarkan. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:

FUNGSI KONSUMSI, FUNGSI TABUNGAN DAN PENDAPATAN NASIONAL

Seorang ahli dalam bidang ekonomi bernama Keyness, mempunyai pendapat bahwa pengeluaran seseorang untuk konsumsi dipengaruhi oleh pendapatannya. Semakin tinggi tingkat pendapatan maka tingkat konsumsinya  juga semakin tinggi. Sejalan dengan pemikiran tersebut  dapat dimengerti bahwa seorang yang tingkat pendapatannya semakin tinggi, semakin besar pula tabungannya karena tabungan merupakan bagian dari pendapatan yang tidak dikonsumsikan.

v  Fungsi Konsumsi

Secara matematis, hubungan fungsional antara konsumsi dan pendapatan  dapat ditulis sebagai berikut:

                                    

Keterangan :  Y  = Pendapatan

C   =   Pengeluaran untuk konsumsi

A   =   Besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol. 

B   =   MPC (Marginal Propensity to Consume) Besarnya tambahan konsumsi karena adanya tambahan pendapatan.

v  Fungsi Tabungan (Saving)

Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara pendapatan dengan tabungan (saving), secara matematis fungsi tabungan dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:

Y = Pendapatan

C = Konsumsi

S = Tabungan

( 1 – b ) = MPS (Marginal Propensity to Save)

Besarnya tambahan tabungan akibat bertambahnya pendapatan

Secara Grafis hubungan pendapatan, konsumsi dan tabungan digambarkan sebagai berikut:

Keterangan :

Ø  C  dan S adalah konsumsi dan tabungan sebagai pengganti sumbu Y

Y adalah pendapatan sebagai pengganti sumbu X

Ø  a adalah besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan 0

Ø  Y sama dengan C adalah garis impas karena semua titik pada garis tersebut menunjukkan bahwa semua pendapatan habis dikonsumsikan.

Ø  E adalah titik impas yaitu titik perpotongan antara garis  konsumsi dengan garis impas. Pada titik tersebut semua pendapatan habis dikonsumsikan atau tabungan sama dengan nol.

Ø  C = a + bY adalah garis konsumsi

Ø  S = -a + ( 1 - b ) Y adalah garis fungsi tabungan

Ø  YE = adalah besarnya pendapatan  yang  hanya cukup  untuk konsumsi

Ø  Skala konsumsi (C), Skala  Saving (S) = Skala  Pendapatan (Y)

v  Pendapatan Nasional

Pendapatan Nasional pada dasarnya merupakan  penjumlahan total dari pendapatan semua sektor di dalam satu negara, meliputi sektor rumah tangga(orang-perseorangan), sektor  badan usaha dan sektor pemerintah

Ø  Pendapatan Disposabel (Yd)

Adalah  pendapatan nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat, tidak termasuk didalamnya pendapatan yang mempengaruhi  besarnya Yd yaitu pajak dan transfer payment. Ada 4 keadaan yang mempengaruhi pendapatan :

§  Pengeluaran perdangan dengan luar negeri tercermin dari           selisih antara ekspor dan impor negara yang          bersangkutan dilambangkan oleh (X – M).

Dengan demikian persamaan pendapatan nasional menurut pendekatan pengeluaran adalah sebagai berikut:

§  Untuk perekonomian 2 sektor (model perekonomian sederhana),

§  Untuk perekonomian 3 sektor (model perekonomian tertutup),

§  Untuk perekonomian 4 sektor (model perekonomian terbuka)

Ø  Persamaan Pendapatan Nasional

Adalah persamaan yang menggambarkan jumlah seluruhkeluaran (barang dan jasa)yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Pengeluaran tersebut terdiri dari:

§  Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat dilambangkan oleh C.

§  Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh perusahaan dilambangkan oleh I.

§  Pengeluaran dari sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah dilambangkan oleh G.

Tidak ada pajak maupun transfer payment

Hanya ada pajak

Hanya ada transfer payment

Ada pajak dan Transfer payment