MAKALAH
LOGIKA MATEMATIKA
Untuk
Memenuhi Syarat Mata
Kuliah Konsep Dasar Matematika
Dosen
Pengampu : Dicky Prastyo, M.Pd
Disusun oleh kelompok 1 :
1.
Tika Marlena NPM(141350015 )Sebagai Pemateri
2.
Margareta Eka T.S NPM
(141350030) Sebagai Moderator
3.
Azmi Raiz NPM
(141350049) Sebagai Notulen
Prodi : PGSD
Semester : III (Tiga)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONSIA
METRO 2015/2016
KATA
PENGANTAR
Puji
syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya
sehingga saya dapat menyelesaikan makalah yang berisikan tentang “Logika
Matematika ”
tepat pada waktunya.
Makalah
ini diharapkan dapat bermanfaat untuk menambah pengetahuan bagi para pembaca
dan dapat digunakan sebagai salah satu pedoman dalam proses pembelajaran.
Saya
menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangannya karena pengetahuan yang
saya miliki cukup terbatas.Oleh karena itu, saya berharap kritik dan saran dari
pembaca yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.
Akhir
kata, saya sampaikan terima kasih.
Lampung Timur, 8 Oktober 2015
Tim
penyusun
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL.........................................................................................i
KATA
PENGANTAR…………......................................................................ii
DAFTAR
ISI………………………………………..……………….……….iii
BAB I
PENDAHULUAN...........................................................................................1
1.1.
Latar
Belakang................................................................................1
1.2.
Rumusan
Masalah...........................................................................1
1.3.
Tujuan.............................................................................................1
BAB II
PEMBAHASAN
.............................................................................................
2
2.1. Pengertian Logika Matematika ......................................................2
2.1. Pernyataan dan Kalimat Terbuka....................................................2
2.3. Oprasi Logika.................................................................................4
2.4. Konvers,Invers dan Kontraposisi Suatu Implikasi..........................5
2.5. Bikondisional..................................................................................8
2.6. Tautologi,Ekavin,dan Kontradiksi................................................11
2.7. Pernyataan Berkuantor..................................................................12
2.8. Validias Pembuktian.....................................................................12
BAB III
PENUTUP
.....................................................................................................13
3.1.
Kesimpulan...................................................................................13
3.2.
Saran.............................................................................................13
DAFTAR
PUSTAKA.....................................................................................14
iii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran
suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama
sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “Jika
sekarang adalah hari Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan “Jika
sekolah libur maka sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab pertanyaan ini
tentu kita perlu mengetahui aturan-aturan dalam logika.
Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai
logika. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan
bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah
mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil
kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi
sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.
1.2. Rumusan Masalah
Adapun
masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah
1. Apa yang dimaksud logika Matematika,pernyataan dan kalimat
terbuka?
2. Operasi-operasi apa saja
yang terdapat dalam logika matematika?
3. Bagaimana konvers,
invers dan kontraposisi dari suatu implikasi?
4. Apa yang dimaksud
tautologi dan kontradiksi?
5. Apa yang dimaksud
pernyataan berkuantor?
6. Bagaimana cara menarik
kesimpulan?
1.3. Tujuan.
Adapun tujuan penulisan makalah ini
adalah untuk mengetahui nilai kebenaran dari suatu pernyataan,
operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika, mengetahui konvers,
invers dan kontraposisi dari suatu implikasi, mengetahui mengenai tautologi dan
kontradiksi, pernyataan berkuantor serta cara pengambilan kesimpulan dalam
logika matematika.
1
BAB II
PEMBAHASAN
PEMBAHASAN
2.1. Pengertian Logika Matematika
Logika Matematika atau Logika Simbol ialah
logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan
lambang-lambang atau simbol- simbol.
Keuntungan
atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan
universal/dapat dipakai dimana-mana.
2.2.
Pernyataan dan Kalimat
Terbuka
A. Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai
benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kebenaran
atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakan nilai kebenaran dari pernyataan
tersebut. Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya
p, q, r, dan seterusnya. Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua
kalimat merupakan pernyataan.
Contoh :
a. Jakarta adalah ibu kota
Negara Republik Indonesia.
b. 5 adalah bilangan genap.
c. Kemana anda pergi?
Kalimat (a) merupakan pernyataan yang bernilai
benar, kalimat (b) merupakan pernyataan yang bernilai salah dan kalimat (c)
bukan merupakan pernyataan, karena tidak bernilai benar atau salah
Kalimat-kalimat yang tidak termasuk pernyataan, adalah:
a.
Kalimat perintah
b.
Kalimat pertanyaan
c.
Kalimat keheranan
d.
Kalimat harapan
3
B. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat
perubahan (variabel), sehingga
belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Variabel adalah simbol untuk
menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Untuk
memahami pengertian kalimat terbuka, perhatikan contoh berikut.
a. 2 x + 3 = 11
b. y – 3 < 9
c.
Kota
itu bersih, indah dan teratur.
Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat
terbuka karena belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Pada kalimat (a), jika kita ganti variabel x dengan 3
maka kalimat (a) tidak lagi berupa
kalimat terbuka, sekarang (a) adalah
suatu pernyataan yang bernilai salah tetapi jika kita ganti variabel x dengan 4
maka (a) adalah suatu pernyataan
yang bernilai benar. Jika kita ganti variabel “itu” pada kalimat (c) dengan
Jakarta, maka (c) belum menjadi pernyataan karena tetap harus diselidiki nilai
kebenarannya.
2.3. Operasi Logika
A. Negasi
Negasi (ingkaran) adalah suatu pernyataan baru
yang dapat dibentuk dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika
pernyataan semula salah dan bernilai salah Maka pernyataan semula benar.
Jika pada suatu pernyataan p, diberikan
pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan oleh ~p, maka dapat
dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar…” di depan pernyataan p atau jika
mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di dalam pernyataan p.
Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan memenuhi
sifat berikut ini: Jika p benar, maka ~p salah; jika p salah maka ~p benar.
4
Jadi, nilai kebenaran negasi suatu pernyataaan
selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Sifat tersebut
dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut ini.
|
p
|
~p
|
|
B
S
|
S
B
|
Contoh:
a. p : Semua bilangan prima adalah ganjil.
~p : Tidak benar bahwa semua
bilangan prima adalah ganjil.
~p : Ada bilangan prima yang
tidak ganjil.
b. q : 2 + 2 = 5
~q : Tidak benar 2 +2 =5
~q : 2 + 2 ¹ 5
B. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua
pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p
dan q dinotasikan oleh “p Ù q”.
Nilai kebenaran konjungsi p Ù q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar, maka p Ù q benar; sebaliknya, jika salah satu p atau q salah serta p salah
dan q salah, maka p Ù q salah. Dengan perkataan lain, konjungsi dua
pernyataan akan bernilai benar hanya bila setiap pernyataan bagiannya bernilai
benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
|
p
|
Q
|
p Ù q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
5
Contoh :
a. p
: 2 + 3 = 5 (benar)
q
: 5 adalah bilangan prima (benar)
p Ù q : 2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima
(benar)
b. p
: 12 habis dibagi 3 (benar)
q
: 15 habis dibagi 2 (salah)
p Ù q : 12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi
2 (salah)
C. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua
pernyataan dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p
dan q dinotasikan oleh “p Ú q”.
Nilai kebenaran disjungsi p Ú q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar serta
salah satu diantara p dan q benar, maka p Ú q benar. Jika p dan q
dua-duanya salah maka p Ú q salah. Untuk lebih
jelasnya perhatikan tabel berikut.
|
p
|
Q
|
p Ú q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
Contoh :
a. p
: 5 + 3 = 8 (benar)
q
: 8 adalah bilangan genap (benar)
p Ú q : 5 + 3 = 8 atau 8
adalah bilangan genap (benar)
b. p : 5 + 3 ¹ 8 (salah)
q
: 8 bukan bilangan genap (salah)
p Ú q : 5 + 3 ¹ 8 atau 8 bukan bilangan genap (salah)
6
D. Implikasi
Implikasi (pernyataan bersyarat/kondisional)
adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dengan
menggunakan kata hubung logika “jika . . .
maka . . .”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p
Þ q”, dapat dibaca “jika p maka q”.
Nilai kebenaran implikasi p Þ q memenuhi sifat berikut: jika p benar dan q salah, maka p Þ q dinyatakan salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p Þ q dinyatakan benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel
berikut.
|
p
|
Q
|
p Þ q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
Contoh :
a. p
: 5 + 3 = 8 (benar)
q
: 8 adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika 5 + 3 = 8 maka 8 adalah bilangan genap
(benar)
b. p
: 5 + 3 ¹ 8 (salah)
q
: 8 adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika 5 + 3 ¹ 8 maka 8 adalah
bilangan genap (benar)
E. Biimplikasi
Jika dua pernyataan p dan q dirangkai dengan
menggunakan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”, maka diperoleh
pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut
biimplikasi. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Û q”.
Nilai kebenaran biimplikasi p Û q memenuhi sifat berikut: p Û q dinyatakan benar jika
p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. p Û q dinyatakan salah jika
mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan
tabel berikut.
7
|
p
|
Q
|
p Û q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
Contoh:
a. p
: 2 + 6 = 8 (benar)
q
: 2 < 8 (benar)
p Û q : 2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (benar)
b. p
: 2 + 6 ¹ 8 (salah)
q
: 2 > 8 (salah)
p Û q : 2 + 6 ¹ 8 jika dan hanya jika 2
> 8 (benar)
2.4. Konvers, Invers dan Kontraposisi suatu Implikasi
Dari suatu implikasi p Þ q dapat dibentuk
implikasi lain, yaitu:
1. q Þ p, yang disebut konvers dari p Þ q.
2. ~p Þ ~q, yang disebut invers dari p Þ q.
3. ~q Þ ~p, yang disebut kontraposisi dari p Þ q.
Tabel kebenaran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut
adalah:
|
Implikasi
|
Konvers
|
Invers
|
Kontraposisi
|
||||
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p Þ q
|
q Þ p
|
~p Þ ~q
|
~q Þ ~p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
B
B
S
B
|
B
B
S
B
|
B
S
B
B
|
Dari
tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p Þ q
sama dengan nilai kebenaran ~q Þ
~p. Begitu pula nilai kebenaran q Þ p
sama dengan nilai kebenaran ~p Þ
~q.
8
2.5. Bikondisional (Biimplikasi Atau
Pernyataan Bersyarat Ganda)
Pernyataan bikondisional bernilai
benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama.
Contoh:
Jika p : 2 bilangan genap (B)
q : 3 bilangan ganjil (B)
maka
p ⇔ q : 2 bilangan genap dan 3 bilangan ganjil (B)
2.6. Tautologi, Ekivalen Dan Kontradiksi
A. Tautologi
Perhatikan
bahwa beberapa pernyataan selalu bernilai benar. Contoh pernyataan:
“Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak
bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang. Jika p
: junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas
berbentuk p ∨ ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel
kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran
komponen-komponennya, disebut tautologi.
B. Ekivalen
Dua
buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan
itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
C.
Kontradiksi
Setiap
pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari
komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai
salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya.
2.7. Pernyataan Berkuantor
Kuantor
adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan
yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor
mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada dan
sebagainya. Kata-kata tersebut merupakan kuantor karena kata-kata tersebut
menyatakan ukuran jumlah. Kuantor dibagi menjadi dua, yaitu kuantor universal
dan kuantor eksistensial.
9
A. Kuantor Universal
Pernyataan
yang menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor
universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor universal.
Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal.
a. Semua kuda berlari
cepat.
b. Setiap bilangan asli
lebih besar daripada nol.
Kalimat
terbuka p(x) dapat diubah menjadi
pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan
nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk
mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor
universal di depan kalimat terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat
terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai
berikut.
" x, p(x)
dibaca: untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk semua x
berlakulah p(x)
B. Kuantor Eksistensial
Pernyataan
yang menggunakan kata beberapa atau ada disebut pernyataan berkuantor
eksistensial. Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial.
Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor eksistensial.
a. Ada bis kota yang
bersih.
b. Beberapa dinding rumah
terbuat dari papan kayu.
Seperti
halnya pada kuantor universal, kuantor eksistensial juga dapat digunakan untuk
mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah
kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan
sebagai berikut.
10
$ x, p(x)
dibaca: beberapa x berlakulah p(x) atau ada x berlakulah p(x)
C. Ingkaran Kuantor Universal
Perhatikan contoh berikut.
p : Semua kucing
berwarna putih
ingkaran dari p adalah
~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau
~p : Ada kucing yang tidak berwarna putih
Berdasarkan
contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah
sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari
pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.
~[" x, p(x)] º $ x, ~p(x)
dibaca: ingkaran dari
“untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”
D. Ingkaran Kuantor Eksistensial
Perhatikan contoh berikut.
p : Ada pria yang
menyukai sepak bola
ingkaran dari p adalah
~p : Tidak ada pria yang menyukai sepak bola, atau
~p : Semua pria tidak menyukai sepak bola
Berdasarkan
contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial
adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari
pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut.
11
~[$ x, p(x)] º " x, ~p(x)
dibaca: ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan
“untuk semua x bukan p(x)”
2.8. Validitas Pembuktian ( Menarik Kesimpulan )
A. Premis dan Argumen
Pernyataan-pernyataan
yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu
premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah
dibuktikan sebelumnya.
Sedang
yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu
atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu)
konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.
B.
Validitas
Pembuktian
Modus ponens, modus tollens dan silogisme adalah
metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. Proses penarikan
kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya
(disebut premis). Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat
diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari
premis-premis semula. Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut
argumentasi.
Suatu argumentasi disusun dengan cara menuliskan
premis-premisnya baris demi baris dari atas ke bawah, kemudian dibuat garis
mendatar sebagai batas antara premis-premis dengan konklusi. Misalkan
pernyataan-pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka
argumentasi tersebut dapat disajikan dalam susunan berikut.
12
a
……. premis 1
b
……. premis 2
\c ……. kesimpulan/konklusi
Pernyataan a
sebagai premis 1, pernyataan b
sebagai premis 2, dan pernyataan c sebagai kesimpulan/konklusi. Tanda \ dibaca “jadi” atau “oleh karena itu”.
1. Modus Ponens
Misalkan diketahui premis-premis p Þ q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi q.
Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus ponens atau kaidah
pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q …….
premis 1
p ……. premis 2
\ q …….
kesimpulan/konklusi
Contoh :
Diketahui:
Premis 1 : Jika saya
jujur, maka usaha saya berhasil
Premis 2 : Jika usaha saya
berhasil, maka hidup saya bahagia
Dari premis-premis
tersebut dapat ditarik kesimpulan yang sah adalah … Jika saya jujur, maka
hidup saya bahagia
2. Modus Tollens
Misalkan diketahui premis-premis p Þ q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p.
Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus tollens atau
kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q …….
premis 1
~q …….
premis 2
\ ~p …….
kesimpulan/konklusi
13
Contoh :
Premis 1 : Jika semua harta benda
Andi terbawa banjir, maka ia menderita
Premis 2 : Andi tidak menderita
Kesimpulan yang sah dari
premis-premis tersebut adalah …
Misalkan
: p = semua harta benda Andi terbawa banjir
q = ia menderita
~q = Andi tidak menderita
Premis
1 : p Þ q
Premis
2 : ~q
Kesimpulan
: \ ~p
Semua
harta benda Andi tidak terbawa banjir
3. Silogisme
Misalkan diketahui premis-premis p Þ q dan q Þ r. Dari premis-premis
itu dapat diambil konklusi p Þ r. Pengambilan
kesimpulan dengan cara seperti itu disebut kaidah silogisme. Silogisme
disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q
……. premis 1
q Þ r
……. premis 2
\ p Þ r …….
kesimpulan/konklusi
Contoh
Diketahui:
Premis
1 : Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian
Premis
2 : Jika Adi lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN
Penarikan
kesimpulan dari premis–premis tersebut adalah…
Misalkan : p = Adi rajin belajar
q = Adi lulus ujian
r = Adi dapat diterima di
PTN
14
Premis
1 : p Þ q
Premis
2 : q Þ r
Kesimpulan
: \ p Þ r
\ Jika Adi rajin belajar maka
Adi dapat diterima di PTN
15
BAB III
PENUTUP
3.1.
Kesimpulan
Secara etimologis, logika berasal dari kata
Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga
berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Logika adalah suatu cabang ilmu yang
mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).
Dalam logika matematika ada dua kalimat yang
penting, yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga
operasi logika, yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi dan
biimplikasi. Dari suatu implikasi dapat dibentuk implikasi lain, yaitu konvers,
invers dan kontraposisi. Metode atau cara yang digunakan dalam penarikan
kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens dan silogisme.
3.2. Saran
Penulis menyadari jika makalah ini masih jauh dari
sempurna. Kesalahan ejaan, metodologi penulisan dan pemilihan kata serta
cakupan masalah yang masih kurang adalah diantara kekurangan dalam makalah ini.
Karena itu saran dan kritik membangun sangat kami butuhkan dalam penyempurnaan
makalah ini.
16
DAFTAR PUSTAKA
http://bloogeragus.blogspot.co.id/2014/03/makalah-logika-informatika_23.html
Lipschutz,
Seymour dan George G. hall. 1988. Matematika
Hingga. Jakarta: Penerbit Erlangga
17
Tidak ada komentar:
Posting Komentar